Klasa 2E Kochan 2020: Czworokąty wpisane w okrąg, czworokąty opisane na okręgu

Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu: link
Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg: link
Przykładowe zadania:

Zadanie nr 1. (Matura maj 2018, poziom rozszerzony)

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC | > |BC |$ . Dwusieczna $dC$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$ . Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $dA$ kąta $BAC$ , punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $dC$ kąta $ACB$ , a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d B$ kąta $ABC$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg.

Zadanie nr 2. (Matura maj 2018, poziom rozszerzony)

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy $a$ i wysokości trapezu jest równa 2.

Wyznacz wszystkie wartości $a$ , dla których istnieje trapez o podanych własnościach.

Wykaż, że obwód $L$ takiego trapezu, jako funkcja długości $a$ dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem $2 L(a) = 4a-−8aa+8$

Zadanie nr 3. (Matura czerwiec 2018, poziom rozszerzony)

Trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu. Ramię $BC$ ma długość 10, a ramię $AD$ jest wysokością trapezu. Podstawa $AB$ jest 2 razy dłuższa od podstawy $CD$ . Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie nr 4. (Matura czerwiec 2017, poziom rozszerzony)

Miary kątów trójkąta $ABC$ są równe $α = |∡BAC |$ , $β = |∡ABC |$ i $γ = |∡ACB |$ . Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki $AS$ i $BS$ przecinają boki $BC$ i $AC$ tego trójkąta w punktach odpowiednio $D$ i $E$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli $α + β = 2γ$ , to na czworokącie $DCES$ można opisać okrąg.

Zadanie nr 5. (Matura czerwiec 2017, poziom rozszerzony)

Trapez równoramienny $ABCD$ o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa $AB$ trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne $AC$ i $BD$ trapezu przecinają się w punkcie $P$ . Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt $ABP$ .

Rozwiązania zadań

(uczyłam się pisać na tablecie, pozostało Wam tylko zadanie nr 1 - proste)

Rozwiązania

Klasa 2E Kochan 2020

Strony

piątek, 17 kwietnia 2020

Czworokąty wpisane w okrąg, czworokąty opisane na okręgu

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz