Klasa 2E Kochan 2020: Materiały na czas zawieszenia zajęć

16.03.2020

DODATKOWE ZADANIA

17.03.2020

Ciekawe zadanie 4.29 dla ambitnych (zastosuj np tw. cosinusów),

4.30 dla wszystkich (odp. 620, dane: a3*a5=20, a17:a5=2 reszta 1, oblicz sumę od a20 do a50 włącznie)

Zadania do samodzielnego rozwiązania

proszę o rozwiązanie i sprawdzenie poprawności (rozwiązania - ok. godz. 12.00, 17.03.20)

18.03.2020

zadania na dziś, miłej pracy :)

Zadanie 1.

Pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 + px2 + 23x + q są trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny. Wiedząc, że suma pierwiastków wielomianu jest równa 9, oblicz wartości parametrów p i q oraz pierwiastki wielomianu W(x).

Zadanie 2.

Wyznacz wszystkie wartości x i y, dla których ciąg (x – y2, –y – x2, x – 2y – 3) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny.

Zadanie 3.

Pewien ciąg geometryczny (an) ma parzystą liczbę wyrazów. Suma wszystkich wyrazów jest sześć razy większa od sumy wyrazów ciągu stojących na miejscach nieparzystych. Wyznacz iloraz tego ciągu.

Zadanie 4.

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o dodatnich wyrazach, a ciąg (bn) – ciągiem arytmetycznym. Pierwsze i piąte wyrazy tych ciągów są równe. Wiedząc, że a1=2, suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 1820, oblicz szósty wyraz ciągu geometrycznego.

19.03.2020

teoria i zadania na dziś (link poniżej), miłej pracy :)

1. PROCENT SK ŁADANY

2. Testy do sprawdzenia swojej wiedzy (ciągi-podstawy, ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny)

link: testy

20.03.2020

Typowe zadania z ciągów "pomieszanych":

I TYP - mamy kolejne wyrazy pewnego ciągu i zmieniamy je (dodając/odejmując/mnożąc/dzieląc) na trzy kolejne wyrazy drugiego ciągu

-stosujemy zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągów-arytmetycznym i geometrycznym

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi 18. Jeśli największą z tych liczb zwiększymy o 8, a pozostałych nie zmienimy, to uzyskamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

Wskazówka-tworzymy układ trzech równań z trzema niewiadomymi i z zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego a+c=2b wstawiamy do równania na sumę - otrzymamy równanie z jedną niewiadomą (b)!

ROZWIĄZANIE

Szukamy trzech liczb $(a,b,c)$ tworzących ciąg arytmetyczny. Ponieważ w takiej sytuacji ciąg $(c,b,a)$ też jest arytmetyczny, możemy założyć (na użytek rachunków), że $a < b < c$ (jeżeli tak nie jest, zapisujemy ciąg w odwrotnej kolejności). Liczby $a,b,c$ mają spełniać układ równań

( |{ a + b + c = 18 2b = a+ c |( 2 b = (c + 8) ⋅a.

Z pierwszych dwóch równań mamy

18 = b+ (a + c) = 3b ⇒ b = 6.

W takim razie

c = 18 − b − a = 12 − a.

Podstawiamy uzyskane wartości do trzeciego równania i mamy

36 = (20 − a)a a2 − 2 0a+ 36 = 0 Δ = 4 00− 144 = 256 = 162 20 − 16 20+ 16 a = --------= 2 ⇒ a = --------= 1 8. 2 2

Ponieważ założyliśmy, że $a < b < c$ , drugie rozwiązanie odpada i mamy $a = 2$ . Wtedy $c = 1 2− a = 10$ . Pomijając złożenie $a < b < c$ otrzymujemy drugi ciąg spełniający warunki zadania: $(10,6,2 )$ .

Odpowiedź: $(2,6,1 0)$ lub $(10 ,6,2)$

Uwaga-rozwiązanie skopiowałam ze strony zadania.info

jest tam również inny sposób rozwiązania - poszukajcie :)

II TYP - mamy kolejne wyrazy pewnego ciągu i są one wybranymi wyrazami innego ciągu (niekolejnymi-np. pierwszym, drugim i siódmym)

-stosujemy wzór na n-ty wyraz ciągu, z którego wybieramy te "niekolejne wyrazy" i wstawiamy układu (suma podanych wyrazów+zależność na trzy kolejne wyrazy drugiego ciągu)

Trzy liczby, których suma jest równa 93, tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi oraz siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

ROZWIĄZANIE

Z podanej informacji o sumie i o ciągu geometrycznym mamy układ równań.