Materiał pochodzi ze strony www.medianauka.pl

Szereg geometryczny

Jeżeli dany jest ciąg geometryczny (a_n) o ilorazie q, to możemy utworzyć nowy ciąg S_n w następujący sposób:

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃
S₄ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄
...
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n
...

Widzimy, że n-ty wyraz stanowi sumę n kolejnych wyrazów ciągu (a_n) począwszy od wyrazu pierwszego.

Ciąg (S_n) nazywamy szeregiem geometrycznym lub ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego.

Ponieważ n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem $a_n=a_1\cdot{q^{n-1}}$ , to szereg geometryczny będzie miał następującą postać:

$a_1+a_1\cdot{q}+a_1\cdot{q^2}+a_1\cdot{q^3}+...+a_1\cdot{q^{n-1}}+...$

Suma szeregu geometrycznego=suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Twierdzenie

Szereg geometryczny jest zbieżny (istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego), gdy

|q|<1 (warunek zbieżności szeregu) i ma sumę

$S=\frac{a_1}{1-q}$

natomiast jest rozbieżny, gdy $|q|\geq{1}$

Skąd wziął się powyższy wzór? Ogólny wyraz szeregu geometrycznego to $S_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}}$ Zatem suma szeregu geometrycznego to granica:
$S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}(a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q})=\lim_{n\to\infty}[\frac{a_1}{1-q}\cdot (1-q^n)]=\\=\lim_{n\to\infty}(\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_1}{1-q}q^n)=\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_1}{1-q}\cdot{\lim_{n\to\infty}(q^n)}=\frac{a_1}{1-q}-0=\frac{a_1}{1-q}$
Założyliśmy tutaj, że |q|<1, gdyż tylko wtedy $\lim_{n\to\infty}q^n=0$ W przeciwnym przypadku granica ta jest nieskończona (niewłaściwa) i suma szeregu również jest nieskończona.

Przykładowe zadania wraz z rozwiązaniami (ze strony www.zadania.info i www.medianauka.pl):

Zadanie 1. Wyznacz te wartości $x$ , dla których istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego

8, 4x, 2x 2, ...

Rozwiązanie:

Będziemy korzystać z faktu, że szereg geometryczny

2 a1 + a1q+ a1q + ...

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy $|q | < 1$ .

Iloraz danego ciągu geometrycznego wynosi $q = x2$ . Musimy zatem rozwiązać nierówność

1- 2|x| < 1 |x | < 2 − 2 < x < 2

Odpowiedź: $x ∈ (− 2,2)$

Zadanie 2. Rozwiąż równanie

$1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}$

Rozwiązanie:

$\underline{1+x+x^2+x^3+..}=\frac{8}{7}$

$a_1=1 \\ q=x$
Warunek zbieżności szeregu geometrycznego: |q|=|x|<1.
$S=\frac{1}{1-x}=\frac{8}{7} \\ \frac{1}{1-x}-\frac{8}{7}=0 \\ \frac{7}{7(1-x)}-\frac{8(1-x)}{7(1-x)}=0 \\ \frac{7-8(1-x)}{7(x-1)}=0 \\ 7-8+8x=0 \\ 8x=1/:8 \\ x=\frac{1}{8}$
Ponieważ $|q|=|x|=\frac{1}{8}<1$ więc x=1/8 jest rozwiązaniem równania.

Zadania do samodzielnego wykonania:

1. Rozwiąż równanie

$5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10$

2. Dla jakich wartości parametru x istnieje poniższa suma (jest ona liczbą rzeczywistą)?

3. Oblicz 10 granic ciągów liczbowych (zadania z zbioru zadań, przykład a)

Klasa 2E Kochan 2020

Strony

poniedziałek, 30 marca 2020

31.03.2020-suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Szereg geometryczny

Suma szeregu geometrycznego=suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Rozwiązanie:

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz