wtorek, 31 marca 2020

01.04-03.04.2020 szereg geometryczny-zadania

Zadania z szeregu geometrycznego c. d.








Autor: o Brak komentarzy:

31.03.2020-zadania z szeregu geometrycznego

Zadania z sumą nieskończonego ciągu geometrycznego





Dodatek do pracy domowej z granic ciągów
Tu można poćwiczyć obliczanie granic ciągów liczbowych 
(niestety dość prosty test na stronie e-podręczniki):

link




Autor: o Brak komentarzy:

poniedziałek, 30 marca 2020

31.03.2020-suma nieskończonego ciągu geometrycznego


Materiał pochodzi ze strony www.medianauka.pl

Szereg geometryczny

Teoria Jeżeli dany jest ciąg geometryczny (an ) o ilorazie q, to możemy utworzyć nowy ciąg Sn w następujący sposób:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
...
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
...
Widzimy, że n-ty wyraz stanowi sumę n kolejnych wyrazów ciągu (an ) począwszy od wyrazu pierwszego.
Ciąg (Sn ) nazywamy szeregiem geometrycznym lub ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego.
Ponieważ n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem a_n=a_1\cdot{q^{n-1}}, to szereg geometryczny będzie miał następującą postać:
a_1+a_1\cdot{q}+a_1\cdot{q^2}+a_1\cdot{q^3}+...+a_1\cdot{q^{n-1}}+...

Suma szeregu geometrycznego=suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Twierdzenie Twierdzenie

Szereg geometryczny jest zbieżny (istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego), gdy

|q|<1 (warunek zbieżności szeregu) i ma sumę
S=\frac{a_1}{1-q}


natomiast jest rozbieżny, gdy |q|\geq{1}
Skąd wziął się powyższy wzór? Ogólny wyraz szeregu geometrycznego to S_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}}Zatem suma szeregu geometrycznego to granica:
S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}(a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q})=\lim_{n\to\infty}[\frac{a_1}{1-q}\cdot (1-q^n)]=\\=\lim_{n\to\infty}(\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_1}{1-q}q^n)=\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_1}{1-q}\cdot{\lim_{n\to\infty}(q^n)}=\frac{a_1}{1-q}-0=\frac{a_1}{1-q}
Założyliśmy tutaj, że |q|<1, gdyż tylko wtedy \lim_{n\to\infty}q^n=0W przeciwnym przypadku granica ta jest nieskończona (niewłaściwa) i suma szeregu również jest nieskończona.



 Przykładowe zadania wraz z rozwiązaniami (ze strony www.zadania.info i www.medianauka.pl):

Zadanie 1. Wyznacz te wartości x , dla których istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego


8, 4x, 2x 2, ...

Rozwiązanie:

Będziemy korzystać z faktu, że szereg geometryczny


2 a1 + a1q+ a1q + ...


jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy |q | < 1 .

Iloraz danego ciągu geometrycznego wynosi q = x2 . Musimy zatem rozwiązać nierówność


1- 2|x| < 1 |x | < 2 − 2 < x < 2


Odpowiedź: x ∈ (− 2,2)


Zadanie 2. Rozwiąż równanie
1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}


Rozwiązanie:

\underline{1+x+x^2+x^3+..}=\frac{8}{7}
a_1=1 \\ q=x
Warunek zbieżności szeregu geometrycznego: |q|=|x|<1.
S=\frac{1}{1-x}=\frac{8}{7} \\ \frac{1}{1-x}-\frac{8}{7}=0 \\ \frac{7}{7(1-x)}-\frac{8(1-x)}{7(1-x)}=0 \\ \frac{7-8(1-x)}{7(x-1)}=0 \\ 7-8+8x=0 \\ 8x=1/:8 \\ x=\frac{1}{8}
Ponieważ |q|=|x|=\frac{1}{8}<1 więc x=1/8 jest rozwiązaniem równania.


Zadania do samodzielnego wykonania: 
1. Rozwiąż równanie
5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10

2. Dla jakich wartości parametru x istnieje poniższa suma (jest ona liczbą rzeczywistą)?
 1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+... 

3. Oblicz 10 granic ciągów liczbowych (zadania z zbioru zadań, przykład a)





Autor: o Brak komentarzy:

niedziela, 29 marca 2020

30.03.2020-granice funkcji c.d.

Bardzo proszę o obejrzenie filmu 
"Obliczanie granic przez bezpośrednie podstawianie"


i wykonanie zadania

"Obliczane granicy przez bezpośrednie podstawienie" 
(w nazwie jest literówka-powinno być Obliczanie, podaję oryginalną nazwę)



Ostateczny termin wykonania: 03.04.2020
Autor: o Brak komentarzy:

piątek, 27 marca 2020

27.03.2020-granice funkcji c.d.

Poproszę o zapoznanie się z materiałami edukacyjnym pt "Formalna definicja granic funkcji"

i wykonanie testu swojej wiedzy

"Podstawy obliczania granic"


Ostateczny termin wykonania: 03.04.2020
Autor: o Brak komentarzy:

czwartek, 26 marca 2020

26.03.2020-granice jednostronne

Proszę o obejrzenie materiałów dotyczących granic jednostronnych funkcji 

i wykonanie ćwiczenia
 "Jednostronne granice z wykresów"

Ostateczny termin wykonania pracy: 03.04.2020
Autor: o Brak komentarzy:

środa, 25 marca 2020

25.03.2020 - granice funkcji

Polecam cały cykl wykładów on-line na platformie KhanAcademy



szczególnie ciekawy jest temat 

Proszę obejrzeć załączone filmy i wykonać ćwiczenie
Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów

Ostateczny termin wykonania: 03.04.2020
Autor: o Brak komentarzy:

poniedziałek, 23 marca 2020

Granice ciągów liczbowych - 23-24.03.2020

1. Granice ciągów liczbowych obliczamy przy n dążącym do + nieskończoności (dlaczego?)


2. Bardzo ważne są symbole nieoznaczone, generalnie chodzi o to, żeby je zlikwidować, dlatego wyłączamy  n w najwyższej potędze przed nawias
Materiał ze strony: "e-trapez"
3. Pamiętajmy, że jeśli granice ciągów są właściwe (wartości liczbowe), to nie ma potrzeby sprowadzać sumy czy różnicy wyrażeń wymiernych do wspólnych mianowników (zakazu nie ma, jeżeli ktoś ma pierwiastek masochistyczny)

 Przykłady:


4. Dla ciekawych, więcej można poczytać link
Autor: o Brak komentarzy:
Subskrybuj: Posty (Atom)